Istorija matematike

Сматра се да најстарији археолошки налаз, који би требало да представља
човекову способност, да забележи представу о количини, потиче из Чешке. То је
бедрена кост младог вука у коју је урезано 55 зареза и која је стара између 10 и 20
хиљада година. Слични предмети потичу и из осталих делова Старог света, али
нажалост није протумачено шта они стварно значе.

http://razbibriga.net/clear.gif

Слика1. Зарези на костима из 18000-20000 пре н.е.

Ипак, може се рећи да је број најстарији математички појам и да се прво
упоређивање величина вршило пребројавањем.. Ту чињеницу доказује и сличан
начин бројења у језицима индоевропског порекла. Број 10 у већини народа има
истакнуто место, што је јасно, јер се прво установило рачунање на прсте руке.

Отуда је претежно и распрострањен десетични ситем бројења. Наравно да постоје
и изузеци: осамдесетични, на француском quatre-vingt (тј. четири двадесетице),
се ослања на рачун прстију руку и ногу. У том смислу је једноставнији и логичнији
двадесетични Келтски систем. Астеци су прво рачунали по петоркама, а потом
такође прешли на двадесетични систем. Вавилонци су користили шестдесетични
систем, који се задржао и до данас у рачунању времена и мерењу углова
степеном мером. Постоје и изузетно примитивни бинарни бројевни системи као код
неких племена у Аустралији и Полинезији: урапун (1); окоза (2); окоза-урапун (3);
окоза-окоза (4) окоза-окоза-урапун (5); окоза-окоза-окоза (6 или много).

Стварањем првих цивилизација у плодним долинама река Нила, Тигра, Инда и Јанг
Цеа, развојем првих привредних грана и стварањем вишка вредности, настају и
услови за развој културе и науке. Најстарија египатска белешка о броју је запис о
војном плену и стрији је 5 векова од прве пирамиде. Из Египта потичу и први чисто
математички списи. То су најпре Московски папирус са 25 задатака на свитку
формата 534 cm X 8 cm из 1890. године п.н.е и Рајндов или Ахмесов папирус са 84
задатка на формату 534 cm X 33 cm из 1650. године п.н.е. Ти списи такође
показују да је у Египту у то време већ постојао и неки систем наставе. Засебних
наука још нема и свештеници носе у себи сједињену целокупну тадашњу ученост.

Та ученост настаје из разних практичних проблема, животних потреба и начина
њиховог решавања. Још је Херодот рекао да геометрија потиче из Египта, од
потребе да се тачно измери земљиште, пошто Нил после поплава често однесе
међашне ознаке. До сазнања и закључака се долази углавном емпиријском
индукцијом . Изумом хијероглифског писма та сазнања су се могла забележити и
оставити потомству.

О високом степену развоја математике код Вавилонаца сведочи глинена плоча
Плимптон 322 , писана клинастим писмом, а представља табелу целобројних
страница правоуглог троугла. Чињеница да је на тој плочи представљена тројка
бројева (12709, 13500, 18541) поткрепљује тезу неких историчара математике, да
су Вавилонци знали опште решење проблема Питагориних тројки. Према руском
математичару Колмогорову ово је прва епоха у периодизације развитка
математике, која је послужила за сакупљање довољно великог фактичког
материјала за рађање нове науке.

http://razbibriga.net/imported/2011/...numerals-1.jpg

Слика 3. Вавилонски бројевни систем

Питагора је имао срећу да упозна обе ове културе. У Египат је отишао по савету
Талеса. Ту је заробљен од стране Персијанаца и одведен у Вавилон.
Интелектуална искуства, и начин живота који је у тим цивилизацијама упознао,
пренео је по повратку из заробљеништва у Грчку. У грчкој колонији Кротону
оснива школу и удружење, које је имало поред научног, и политички и религиозни
карактер. Већина математичара сматра да је откриће ирационалних бројева, иако
је било у супротности са учењем Питагорејаца, заправо њихов најзначајнији
резултат, можда најзначајнији у математици уопште. Теорема о једнакости збира
квадрата над катетама са квадратом на хипотенузи, која носи Питагорино име, је
свакако најинспиративније математичко тврђење. Оно је било познато готово свим
цивилизацијама независно једној од друге и пре Питагоре. До данас је саопштено
више стотина доказа ове теореме, а математичари се и даље баве новим
приступима доказу и примени ове значајне теореме.

У изучавањима великих грчких мудраца и формално је заживела нова наука. Њено
име потиче од грчке речи μάθημα (матхема) што значи наука, знање, изучавање.
Она убрзо добија и своје прве две дисциплине: аритметику (науку о бројевима) и
геометрију (науку о облицима у природи). Прва велика школа после Питагорејске
је Платонова Академија на чијем улазу је писало „Нека не улази ко не зна
геометрију“. Поред индуктивног грчки филозофи и математичари почињу користити
и дедуктивни метод закључивања у својим разматрањима опажајног света. У
заснивању формалне логике највећи допринос даје Аристотел. Он даје и прву
дефиницију математике: „математика је наука о величинама“. Такође отвара нову
школу Лицеј, претечу каснијих високих школа. Еуклид, енциклопедијским
сакупљањем свих дотадашњих математичких знања у својим Елементима
поставља темеље математике као дедуктивне аксиоматске науке.

По Колмогорову ово је почетак другог периода у развоју математике који ће трајати
све до XVI века.

После смрти Александра Великог његово царство се распада на више држава у
којима на власт долазе Александрове војсковође. Тако у Египту, у Александрији,
Птоломеј I подиже грандиозну библиотеку у којој су сакупљана сва дотадашња
записана знања. Нажалост библиотека је страдала у пожару у рату са Римљанима
47. године пре Христа и у њој је изгорело преко 500000 разних записа.

Најкрупнија научна личност античког периода био је Архимед. Он је живео у III
веку пре нове ере. У радовима се наставља на Еудокса и разрађује његов метод
пропоција. Користећи метод ексхаустије одређује приближно тачно однос
пречника и обима круга 22/7< p < 223/71 и решава проблем квадратуре параболе.
Доказао је да је површина лопта једнака четворострукој површини њеног највећег
круга и да износи две трећине око ње описаног ваљка. Поставља значајне законе
физике и механике. У његовим радовима су видљиви обриси примењене математике.

Архимедов савременик Ератостен, је измерио обим Земље посматрајући разлику
између упадног угла сунчевих зрака у Александрији и Сијени. Он је и за нагиб
еклиптике израчунао угао од 23 51' 20''. У истом веку Аполоније решава проблеме односа
међу круговима и изучава и друге конусне пресеке. Тачније од Архимеда одређује
приближну вредност броја p = 3,1416 .

У другом веку пре нове ере на Родосу је живео Хипарх један од најпознатијих
астронома и геометарa строгрчке културе. Он уводи географске ширине и дужине
места што представља први појам о координатном систему. Написао је дванаест
књига о тетивама кругова и њиховим централним угловима, што је је први вид
тригонометрије. Што се тиче практичних примена, један од највећих математичара
је био Херон. Поставио је основе грађевинарству и геодезији. У свом делу Метрика
он даје чувени образац за површину троугла и метод приближног израчунавања
квадратног корена. У радовима Менелаја појављују се и прва израчунавања из
сферне геометрије.

На почетку нове ере Птоломеј пише свој велики математички зборник, Алмагест .
Тумачи кретање Сунца око Земље и разрађује теорију еклипса (помрачења Сунца
и Месеца). Он је први за кога знамо да је покушавао да докаже Еуклидов пети
постулат. У једном спису каже да би било једноставније да се Земља окреће око
Сунца, али се то противи чињеницама посматрања. Његов геоцентрични систем ће
бити прихваћен од цркве и признат као званични космолошки систем све до краја
Средњег века. Из тог периода значајна je и Никомахова Аритметика у којој се
поред осталог разрађује однос геометријске, аритметичке и хармонијске средине.
Ипак најзначајније дело је била Диофантова Аритметика. Уз Еуклидове Елементе
био је то један од најважнијих уџбеника кроз наредне векове.

Такозвани средњовековни мрак пада и на математичке научне активности. Изузетно и веома
ретко поједини свештеници, учествују у преписивању и превођењу античких списа. Својим
освајањима, Арапи долазе и до књига Старих Грка. Та околност је сачувала нит математичког
развоја која се у каснијим вековима као ехо вратила у европске цивилизације.

За осниваче алгебре можемо слободно прогласити арапске математичаре, а понајвише Ал-
Хорезмија. По његовом делу „Хасиб ал-џабра вал мукабали“, што у слободном преводу значи
Књига израчунавања помоћу додавања и изједначавања, нова математичка дисциплина је
добила и своје име. Арапи су изучавали и геометрију, посебно Насир ал-Дин ал-Туси, у чијим
радовима имамао и елементе тригонометрије.


http://razbibriga.net/imported/2011/...aE1B9A3a-1.jpg

Страница из књиге Мухамеда ибн Мусе ал Хорезмија

Буђењу европске математике средњег века понајвише су допринели италијански
математичари. Најпре је, у XIII веку Фибоначи, својим делом Књига о абаку
систематизовао античка и арапска знања из аритметике користећи арапске
преводе и оригинална дела. Та књига је оставила огроман утицај на ширење
математичке мисли и популарност индијског декадног система и дуго је остала
непревазиђена. У чувеним интригантским математичким двобојима XV века дел
Феро, Тартаља, Кардано и Ферари решавају алгебарске једначине трећег и
четвртог степена. Значајна су и изучавања Леонарда да Винчија о
појавама „златног пресека“ у природи. Немачки математичар Јохан Милер
Региомонтан објављује први рад који је посвећен само тригонометрији. У XVI веку
Непер израчунава логаритме, а Виет уводи симболику и прави словну алгебру која
ће нешто касније добити савремени облик.


http://razbibriga.net/imported/2011/...ab_f124r-1.jpg

Страница из Фибоначојеве Књиге о абаку

Такође је значајно да се отварају универзитети као нови видови високог
образовања. У XI веку Болоња и Салерно, у XII Париз, Кембриџ и Оксфорд. Нешто
касније у Прагу, Кракову, Бечу, Хајделбергу, Лајпцигу итд. Крај овог периода
карактеристичан је по отвореној борби математичара и других научника против
догми католичке цркве и инквизиције. Неки су у тој борби чак жртвовали свој
живот за сазнања и идеје за које су веровали да су истините. Други су опет
прагматично кривудали у својим тврђењима чакајући да свест о новим сазнањима
прими дубље корене у тадашњој научној јавности.

Карактеристично је претежно изучавање статичких величина и објеката и
анализирање њихових односа. Овај период још и називају периодом елементарне
математике, а њен предмет је претежно онај садржај, који се данас предаје у
основним и средњим школама.

Као трећу епоху у развитку математике, Колмогоров наводи XVII и XVIII век, када
математичари почињу да изучавају променљиве величине, а који се још
назива „период више математике“. Уопште, у науци, тада долази до великих
открића и та епоха је позната као „Научна револуција“. Најзад, се прихвата
хелиоцентрични систем Коперника. У геометрију Декарт уводи координате и тако
се рађа аналитичка геометрија. Ферма, Паскал и Јаков Бернули постављају темеље
теорије вероватноће. Почиње се са изучавањем комплексних бројева и правила
операција са њима. Њутн и Лајбниц постављају теорију интегралног рачуна. Њутн
поставља и принципе нове космологије у својим Philosophiæ Naturalis Principia
Mathematica објављеним 5. јула 1687. године. Ферма на маргинама латинског
издања Диофантове Аритметике оставља своје коментаре који иницирају развој
теорије бројева. Лајбниц даје дефиницију функције.

http://razbibriga.net/imported/2011/...25173c38-1.jpg

Копија првог издања Њутнових
Philosоphiae naturalis principia mathematika

Најкрупније математичко име XVIII века је Леонард Ојлер. Он је оставио свој печат
у свим математичким дисциплинама тог века. Уз Лагранжа развија теорију
интегралног и варијационог рачуна. При томе се не користи само Декартовим
координатама. Јављају се зачеци комплексне анализе у радовима Ојлера и
Даламбера. Убрзано се развија и линеарна алгебра увођењем појма матрица и
детерминанти, а најзначајнији допринос томе дају Крамер, Вандермонд и Лаплас. У
теорији бројева Ојлер и Лагранж, инспирисани радовима Ферме, формулишу
значајна тврђења о дељивости и простим бројевима. Заснива се нацртна
геометрија у радовима Монжа и пројективна геометрија у делима Карноа. Де Муавр
и Данијел Бернули у вероватноћи откривају нормалну расподелу.

На крају XVIII века појављују се и први математички журнали и излази двотомна
Историја математике, Монтукла. Шири се издавање научно популарне литературе.
У радовима Песталоција методика математике се издваја као посебна математичка
дисциплина.

Од почетка XIX века па на овамо Колмогоров сматра да траје период савремене
математике. У овом периоду већ се појављују спорови о предмету и дефиницији
математике. Тако Огист Конт мисли да је „математика наука о посредном мерењу
величина“, а Роберт Грасман да је „математика наука о функцијама“. Хамилтон за
основу узима опажање времена, па даје дефиницију: „Математика је наука чистог
времена“. Ако се прихвати мишљење да је чиста математика систем добро
изабраних силогизама, онда нам није далеко ни дефиниција Хермана Грасмана да је
математика: „наука о посебном свету створеном мишљењем“.

http://razbibriga.net/imported/2011/...iones800-1.jpg

Насловна страна првог издања Гаусове
Disquisitiones Arithmeticae

Најутицајнији математичар с прелаза XVIII у XIX век је Гаус. Он 1798. године
завршава рад Disquisitiones Arithmeticae у којем даје значајан допринос теорији
бројева, изучавањем аритметичког и геометријског низа, конгруенција по
модулима, квадратних остатака и доказује квадратни закон реципроцитета. Рад је
штампан у Лајпцигу 1801. године. Гаус даје и први потпуни доказ Основног става
алгебре 1799. У Општим испитивањима о кривим површима, која су објављена 1822.
године, Гаус даје замах диференцијалној геометрији. Ту се први пут појављује
метрика (прва квадратна форма) и повезано са тим унутрашња геометрија површи.
Значајно је и Гаусово деловање на Гетингетском универзитету, који од његовог
постављања за ректора, па дуго година после постаје водећа математичка
институција у свету. Неизбрисив допринос развоју алгебре XIX века дају Абел и
Галоа, својим радовима о решавању алгебарских једначина степена већег од
четири. Из тих радова развила се потпуно нова плодоносна дисциплина алгебре
Теорија група. Фундаменте комплексне анализе у својим радовима постављају
Коши, Риман и Вајерштрас. Лобачевски револуционарним приступом Еуклидовом
петом постулату заснива нову геометрију, која ће касније послужити као
математичка подлога за нову космологију.

Темеље савремене математичке логике постављају Морган и Бул, а крајем XIX
века Пирс у логику уводи кванторе. Теорију скупова разрађује Георг Кантор. Мада
је она изродила и познате парадоксе у њену одбрану су стали Расел, Хилберт и
Адамар. Напротив, иако је у почетку прихватио Канторову теорију скупова,
Поенкаре ју је напустио и назвао „тешком болешћу математике“. Положај је мало
поправила Цермелова аксиома избора која је и раније неприметно и неосновано
коришћена у многим доказима, поготово у теорији реалних бројева.


http://razbibriga.net/clear.gif

Насловна страна Геометрије Лобачевског

Изузетан утицај на развој математике имао је и такозвани Ерлангски програм који
је настао из Клајнове приступне беседе на Ерлангенски универзитет. Његова
синтеза геометрија је произашла из разматрања инваријантности простора у
односу на дату групу трансформација.

У XX веку се све науке па и математика интензивно развијају. Централна
математичка личност са почетка тог века био је Давид Хилберт. Он је 1900. на
међународном конгресу математичара формулисао 23 основна, нерешена,
проблема којима математичари треба да се баве у наредном периоду. Јављају се
нове математичке дисциплине и заокружују оне теорије које су настале у
претходним раздобљима. Вреди поменути неке од математичара који су у тим
пословима били најистакнутији.

Еми Нетер и Ван дер Верден заснивају апстрактну алгебру структура које
прожимају сву математику. Борел и Лебег су уопштил Жорданову теорију мера и
дали основе на којима је изграђен Лебегов интеграл. Колмогоров и Хинчин су дали
значајне резултате у вероватноћи, а први је дао и опште признату аксиоматику
класичне вероватноће. Изузетна је појава индијског самоуког математичара
Рамануџана, који је формулисао више од 3000 теорема, претежно из теорије
бројева. У математичкој логици централно место заузима Гедел, а уз њега су
Вајтхејд и Тарски. Изузетно велики интерес изазвали су фрактали Менделброта.

http://razbibriga.net/imported/2011/...brot_set-1.jpg http://razbibriga.net/imported/2011/...shoulder-1.jpg http://razbibriga.net/imported/2011/...e_valley-1.jpg http://razbibriga.net/imported/2011/...seehorse-1.jpg http://razbibriga.net/imported/2011/...rse_tail-1.jpg
http://razbibriga.net/imported/2011/...ail_part-1.jpg http://razbibriga.net/imported/2011/...ble_hook-1.jpg

Менделбротов скуп

Крајем XX века решена је вишевековна енигма, Велика Фермаова теорема од
стране Едрју Вајлса. Његовом тријумфу значајно су допринели радови Танијаме и
Шимуре, Фалтингса, Каца, Фреја и одлучујућа интервенција Тејлора.

Можемо овој периодизацији додати и пето раздобље које корене има у другој
половини прошлог века, развојем брзих рачунских машина. Капитална тврђења у
области алгоритама постављају Черч, Шенон и Нојман. Норберт Винер заснива
кибернетику. Користећи компјутер 1976. Хакен и Апел доказују теорему о четири
боје.


http://razbibriga.net/imported/2011/...amplesvg-1.png

Посебно је значајан развој апстрактне алгебре, топологије и уопште „апстрактних “
подручја математике. Међутим, све више се смањују разлике између теоријских и
примењених наука, јер и најапстрактније математичке идеје налазе конкретну
примену у решавању практичних проблема. У овом периоду осамосталила се као
посебна математичка дисциплина и историја математике.

Дакле, овде је дат кратак извод из оног чиме су се математичари бавили кроз
векове. Због ограничености простора, ово је само увод, заобиђена су нека
значајна математичка имена. Историју математике су правили људи, математичари,
не изоловани од збивања свог доба. Људи који су имали своје породице, своје
емоције, пријатеље и противнике. Упоредо са њиховим професионалним, текли су
и њихови интимни животи, утичући узајамно један на други. Било је ту истинских
животних драма, срећних појединаца, али и оних који нису доживели славу и
бесмртност свог рада.