Furijeova muzika

Многи родитељи могли су да се увере да су високи рачуни које плаћају за коришћење Интернета направила њихова деца – тинејџери који у касним вечерњим сатима скидају музику с веба. А то је помало иронично, јер је целокупна савремена музичка индустрија изграђена на основу онога што већина тих младих поклоника музике најмање воли – на математици. Оно што та деца заиста скидају са Интернета су бујице бројева, добијене захваљујући математичкој техници која је развијена пре више од 200 година. Почетком 19. века француски математичар Жозеф Батист Фурије израдио је једначине да би описао како се преноси топлота. Исте те једначине могле су да се искористе да би се уз помоћ низа бројева описала било која врста таласа – укључујући звучне.

http://razbibriga.net/imported/clear.jpg

Ако погледамо слику звучних таласа, видимо да су то кривудаве линије које се с протоком времена непрекидно крећу горе–доле. Њихови различити облици одговарају другачијим звуцима. Када из стерео уређаја музика путује према звучницима, ради се о електронској верзији звука – о таласању напона у непрекидном, аналогном виду. Помоћу магнета и електромагнета, који је у звучнику повезан с мембраном која може да се покреће (вибрира) – поново се добија звук.

Ипак, да би могли да се слушају на рачунару, звук, односно музика, морали су да се претворе у низове бројева (да се дигитализују). Најпознатији поступак је ПЦМ (Пулсе Цоде Модулатион), који подразумева узимање узорака (енг. самплинг) висине напона звучних таласа у великом броју узастопних тренутака. Једну једину секунду протеклог аналогног таласа, ПЦМ аналогно-дигитални претварач (конвертер) описује помоћу 44.100 бројева. У случају кампактних (чврстих) дискова, сваки напон мери се с тачношћу од 16 бита, тако да може да се забележи чак 65.536 различитих напона. То значи да је овај начин омогућио шифровање било ког аналогног звука бројевима – и да ће њихово поновно претварање у звук дати такав квалитет да га људско ухо неће разликовати од оригинала.

Нажалост, овакав поступак захтевао је велики простор за смештај података – целих 10 мегабајта за сваки минут снимљене стерео музике. Зато су такви музички фајлови били превелики да би се у разумном времену размењивали преко Интернета. И ту је у помоћ позван Фурије. Он је открио занимљиву појединост која постоји у нашем свету. Сваки талас, било колико да је сложен, сачињен је од врло једноставних синусних таласа. То јест, Фурије је показао да сваки, па и звучни, талас може да се преобрати у низ једноставних синусних и косинусних таласа, различитих фреквенција и амплитуда. Њему у част, тај математички поступак назван је Фуријеова трансформација. А када се оваква збирка таласа претвори у низове бројева, они лако могу да се обрађују – да се музички снимци сабијају или да се смањује шум на њима.

Средином шездесетих година 20. века развијен је алгоритам који је био погодан да се примени и на рачунарима, а назван је „брза Фуријеова трансформација” (фаст Фоуриер трансформ – ФФТ). Амерички инжењер Р. А. Муг (Моог) искористио је Фуријеову математику да изгради електронске музичке синтесајзере. А осамдесетих година јапанско електронско предузеће „Јамаха” (Ùамаха) употребило је исту математику уводећи револуцију у музичку индустрију помоћу инструмената са електронским клавијатурама. Фуријеове једначине данас живе у облику МП3 фајлова и свако ко се дивио њиховој малој величини, могао је да се увери колико је овај алгоритам моћан у сабијању података.

Ипак, код МП3 фајлова не ради се првенствено о њиховом сабијању, већ пре о одбацивању непотребних података – онога што наш слух ионако неће моћи да чује. А има доста тога што је непотребно, а нимало не угрожава квалитет звука. МП3 је скраћеница од МПег3 или тачније МПег – Левел 3. То је индустријски стандард који је 1992. године развио немачки Фрауенхофер Ресеарцх Институте. Ради се о фајловима са изванредним степеном сабијања, који се креће од 8 до 12 – у зависности од врсте извора. То значи да је 10 МБ простора, колико је потребно за смештај једног минута хи-фи музике на компакт-диску, могло да се смањи и смести на само један мегабајт – коришћењем МП3 фајла на хард диску рачунара.
Најпре, МП3 дели опсег фреквенција долазног дигиталног аудио сигнала на 32 канала, које наш слух може да разликује једне од других. Свака од тих компоненти даље се разлаже на 18 делова помоћу Фуријеове трансформације, чиме се укупно добија 576 различитих фреквенцијских канала. У сваком од њих трага се за деловима које наш слух не може да чује и они се одбацују.

На крају, добијени сигнал сабија се „Хуфмановим кодирањем”, техником која је блиска стручњацима за рачунарство, а која вредности које се често понављају приказује краћим шифрама (кодовима) него што су шифре за описивање вредности које се ређе појављују. На пример, било би велико траћење простора ако би се користило 141.120 бита – колико је уобичајено код дигитализованог аудио фајла – за кодирање само 1/10 секунде тишине на некој песми. Исход целе ове математике? Чак ни на најсавршенијим уређајима за репродукцију звука већина људи неће уочити никакву разлику у квалитету.

У јануару 2012. године, четворо истраживача са МИТ (Масачусетског института за технологију) унапредила су овај, један од најважнијих алгоритама у рачунарској науци. Дина Катаби, Хајтам Хасније, Пјотр Инђук и Ерик Прајс створили су бржи начин да се изведе Фуријеова трансформација.

С новим алгоритмом, названим „проређена Фуријеова трансформација” (Спарсе Фоуриер трансформ – СФТ), низови података могу да се обрађују 10 до 100 пута брже него што је могуће са ФФТ. Убрзање се добија јер подаци који су нам најважнији у великој мери имају неки облик – музика није насумичан шум. Њени сигнали су „оскудни” јер заузимају само део вредности коју сигнал може да носи. Технички израз за то је да је оваква информација проређена, раштркана („спарсе”). Пошто СФТ алгоритам није намењен да ради са свим могућим токовима података, може да искористи пречице. У теорији, алгоритам који може да рукује с проређеним сигналима знатно је ограниченији од ФФТ. Али „проређеност је свуда”, наглашава Катаби, професор електротехнике и рачунарства на МИТ. „Она је у природи, у видео сигналима, у аудио сигналима.”

Бржа трансформација значи да је довољна и мања рачунарска снага да би се обрадила иста количина података – што је посебна благодет за мобилне мултимедијске уређаје, као што су паметни телефони, јер се тиме штеди енергија. Или, да са истим износом енергије инжењери могу да изведу ствари које су са ФФТ биле неисплативе. На пример, костур Интернета и рутери тренутно могу да прочитају и обраде само „капи” из „реке” бита која протиче између њих. Нов алгоритам, СФТ, могао би истраживачима да омогући да много детаљније проучавају проток овог саобраћаја, док милијарде битова пролећу у секунди .