Printable View
Сматра се да најстарији археолошки налаз, који би требало да представља
човекову способност, да забележи представу о количини, потиче из Чешке. То је
бедрена кост младог вука у коју је урезано 55 зареза и која је стара између 10 и 20
хиљада година. Слични предмети потичу и из осталих делова Старог света, али
нажалост није протумачено шта они стварно значе.
http://razbibriga.net/clear.gif
Слика1. Зарези на костима из 18000-20000 пре н.е.
Ипак, може се рећи да је број најстарији математички појам и да се прво
упоређивање величина вршило пребројавањем.. Ту чињеницу доказује и сличан
начин бројења у језицима индоевропског порекла. Број 10 у већини народа има
истакнуто место, што је јасно, јер се прво установило рачунање на прсте руке.
Отуда је претежно и распрострањен десетични ситем бројења. Наравно да постоје
и изузеци: осамдесетични, на француском quatre-vingt (тј. четири двадесетице),
се ослања на рачун прстију руку и ногу. У том смислу је једноставнији и логичнији
двадесетични Келтски систем. Астеци су прво рачунали по петоркама, а потом
такође прешли на двадесетични систем. Вавилонци су користили шестдесетични
систем, који се задржао и до данас у рачунању времена и мерењу углова
степеном мером. Постоје и изузетно примитивни бинарни бројевни системи као код
неких племена у Аустралији и Полинезији: урапун (1); окоза (2); окоза-урапун (3);
окоза-окоза (4) окоза-окоза-урапун (5); окоза-окоза-окоза (6 или много).
Стварањем првих цивилизација у плодним долинама река Нила, Тигра, Инда и Јанг
Цеа, развојем првих привредних грана и стварањем вишка вредности, настају и
услови за развој културе и науке. Најстарија египатска белешка о броју је запис о
војном плену и стрији је 5 векова од прве пирамиде. Из Египта потичу и први чисто
математички списи. То су најпре Московски папирус са 25 задатака на свитку
формата 534 cm X 8 cm из 1890. године п.н.е и Рајндов или Ахмесов папирус са 84
задатка на формату 534 cm X 33 cm из 1650. године п.н.е. Ти списи такође
показују да је у Египту у то време већ постојао и неки систем наставе. Засебних
наука још нема и свештеници носе у себи сједињену целокупну тадашњу ученост.
Та ученост настаје из разних практичних проблема, животних потреба и начина
њиховог решавања. Још је Херодот рекао да геометрија потиче из Египта, од
потребе да се тачно измери земљиште, пошто Нил после поплава често однесе
међашне ознаке. До сазнања и закључака се долази углавном емпиријском
индукцијом . Изумом хијероглифског писма та сазнања су се могла забележити и
оставити потомству.
О високом степену развоја математике код Вавилонаца сведочи глинена плоча
Плимптон 322 , писана клинастим писмом, а представља табелу целобројних
страница правоуглог троугла. Чињеница да је на тој плочи представљена тројка
бројева (12709, 13500, 18541) поткрепљује тезу неких историчара математике, да
су Вавилонци знали опште решење проблема Питагориних тројки. Према руском
математичару Колмогорову ово је прва епоха у периодизације развитка
математике, која је послужила за сакупљање довољно великог фактичког
материјала за рађање нове науке.
http://razbibriga.net/imported/2011/...numerals-1.jpg
Слика 3. Вавилонски бројевни систем
Питагора је имао срећу да упозна обе ове културе. У Египат је отишао по савету
Талеса. Ту је заробљен од стране Персијанаца и одведен у Вавилон.
Интелектуална искуства, и начин живота који је у тим цивилизацијама упознао,
пренео је по повратку из заробљеништва у Грчку. У грчкој колонији Кротону
оснива школу и удружење, које је имало поред научног, и политички и религиозни
карактер. Већина математичара сматра да је откриће ирационалних бројева, иако
је било у супротности са учењем Питагорејаца, заправо њихов најзначајнији
резултат, можда најзначајнији у математици уопште. Теорема о једнакости збира
квадрата над катетама са квадратом на хипотенузи, која носи Питагорино име, је
свакако најинспиративније математичко тврђење. Оно је било познато готово свим
цивилизацијама независно једној од друге и пре Питагоре. До данас је саопштено
више стотина доказа ове теореме, а математичари се и даље баве новим
приступима доказу и примени ове значајне теореме.
У изучавањима великих грчких мудраца и формално је заживела нова наука. Њено
име потиче од грчке речи μάθημα (матхема) што значи наука, знање, изучавање.
Она убрзо добија и своје прве две дисциплине: аритметику (науку о бројевима) и
геометрију (науку о облицима у природи). Прва велика школа после Питагорејске
је Платонова Академија на чијем улазу је писало „Нека не улази ко не зна
геометрију“. Поред индуктивног грчки филозофи и математичари почињу користити
и дедуктивни метод закључивања у својим разматрањима опажајног света. У
заснивању формалне логике највећи допринос даје Аристотел. Он даје и прву
дефиницију математике: „математика је наука о величинама“. Такође отвара нову
школу Лицеј, претечу каснијих високих школа. Еуклид, енциклопедијским
сакупљањем свих дотадашњих математичких знања у својим Елементима
поставља темеље математике као дедуктивне аксиоматске науке.
По Колмогорову ово је почетак другог периода у развоју математике који ће трајати
све до XVI века.
После смрти Александра Великог његово царство се распада на више држава у
којима на власт долазе Александрове војсковође. Тако у Египту, у Александрији,
Птоломеј I подиже грандиозну библиотеку у којој су сакупљана сва дотадашња
записана знања. Нажалост библиотека је страдала у пожару у рату са Римљанима
47. године пре Христа и у њој је изгорело преко 500000 разних записа.
Најкрупнија научна личност античког периода био је Архимед. Он је живео у III
веку пре нове ере. У радовима се наставља на Еудокса и разрађује његов метод
пропоција. Користећи метод ексхаустије одређује приближно тачно однос
пречника и обима круга 22/7< p < 223/71 и решава проблем квадратуре параболе.
Доказао је да је површина лопта једнака четворострукој површини њеног највећег
круга и да износи две трећине око ње описаног ваљка. Поставља значајне законе
физике и механике. У његовим радовима су видљиви обриси примењене математике.
Архимедов савременик Ератостен, је измерио обим Земље посматрајући разлику
између упадног угла сунчевих зрака у Александрији и Сијени. Он је и за нагиб
еклиптике израчунао угао од 23 51' 20''. У истом веку Аполоније решава проблеме односа
међу круговима и изучава и друге конусне пресеке. Тачније од Архимеда одређује
приближну вредност броја p = 3,1416 .
У другом веку пре нове ере на Родосу је живео Хипарх један од најпознатијих
астронома и геометарa строгрчке културе. Он уводи географске ширине и дужине
места што представља први појам о координатном систему. Написао је дванаест
књига о тетивама кругова и њиховим централним угловима, што је је први вид
тригонометрије. Што се тиче практичних примена, један од највећих математичара
је био Херон. Поставио је основе грађевинарству и геодезији. У свом делу Метрика
он даје чувени образац за површину троугла и метод приближног израчунавања
квадратног корена. У радовима Менелаја појављују се и прва израчунавања из
сферне геометрије.
На почетку нове ере Птоломеј пише свој велики математички зборник, Алмагест .
Тумачи кретање Сунца око Земље и разрађује теорију еклипса (помрачења Сунца
и Месеца). Он је први за кога знамо да је покушавао да докаже Еуклидов пети
постулат. У једном спису каже да би било једноставније да се Земља окреће око
Сунца, али се то противи чињеницама посматрања. Његов геоцентрични систем ће
бити прихваћен од цркве и признат као званични космолошки систем све до краја
Средњег века. Из тог периода значајна je и Никомахова Аритметика у којој се
поред осталог разрађује однос геометријске, аритметичке и хармонијске средине.
Ипак најзначајније дело је била Диофантова Аритметика. Уз Еуклидове Елементе
био је то један од најважнијих уџбеника кроз наредне векове.
Такозвани средњовековни мрак пада и на математичке научне активности. Изузетно и веома
ретко поједини свештеници, учествују у преписивању и превођењу античких списа. Својим
освајањима, Арапи долазе и до књига Старих Грка. Та околност је сачувала нит математичког
развоја која се у каснијим вековима као ехо вратила у европске цивилизације.
За осниваче алгебре можемо слободно прогласити арапске математичаре, а понајвише Ал-
Хорезмија. По његовом делу „Хасиб ал-џабра вал мукабали“, што у слободном преводу значи
Књига израчунавања помоћу додавања и изједначавања, нова математичка дисциплина је
добила и своје име. Арапи су изучавали и геометрију, посебно Насир ал-Дин ал-Туси, у чијим
радовима имамао и елементе тригонометрије.
http://razbibriga.net/imported/2011/...aE1B9A3a-1.jpg
Страница из књиге Мухамеда ибн Мусе ал Хорезмија
Буђењу европске математике средњег века понајвише су допринели италијански
математичари. Најпре је, у XIII веку Фибоначи, својим делом Књига о абаку
систематизовао античка и арапска знања из аритметике користећи арапске
преводе и оригинална дела. Та књига је оставила огроман утицај на ширење
математичке мисли и популарност индијског декадног система и дуго је остала
непревазиђена. У чувеним интригантским математичким двобојима XV века дел
Феро, Тартаља, Кардано и Ферари решавају алгебарске једначине трећег и
четвртог степена. Значајна су и изучавања Леонарда да Винчија о
појавама „златног пресека“ у природи. Немачки математичар Јохан Милер
Региомонтан објављује први рад који је посвећен само тригонометрији. У XVI веку
Непер израчунава логаритме, а Виет уводи симболику и прави словну алгебру која
ће нешто касније добити савремени облик.
http://razbibriga.net/imported/2011/...ab_f124r-1.jpg
Страница из Фибоначојеве Књиге о абаку
Такође је значајно да се отварају универзитети као нови видови високог
образовања. У XI веку Болоња и Салерно, у XII Париз, Кембриџ и Оксфорд. Нешто
касније у Прагу, Кракову, Бечу, Хајделбергу, Лајпцигу итд. Крај овог периода
карактеристичан је по отвореној борби математичара и других научника против
догми католичке цркве и инквизиције. Неки су у тој борби чак жртвовали свој
живот за сазнања и идеје за које су веровали да су истините. Други су опет
прагматично кривудали у својим тврђењима чакајући да свест о новим сазнањима
прими дубље корене у тадашњој научној јавности.
Карактеристично је претежно изучавање статичких величина и објеката и
анализирање њихових односа. Овај период још и називају периодом елементарне
математике, а њен предмет је претежно онај садржај, који се данас предаје у
основним и средњим школама.
Као трећу епоху у развитку математике, Колмогоров наводи XVII и XVIII век, када
математичари почињу да изучавају променљиве величине, а који се још
назива „период више математике“. Уопште, у науци, тада долази до великих
открића и та епоха је позната као „Научна револуција“. Најзад, се прихвата
хелиоцентрични систем Коперника. У геометрију Декарт уводи координате и тако
се рађа аналитичка геометрија. Ферма, Паскал и Јаков Бернули постављају темеље
теорије вероватноће. Почиње се са изучавањем комплексних бројева и правила
операција са њима. Њутн и Лајбниц постављају теорију интегралног рачуна. Њутн
поставља и принципе нове космологије у својим Philosophiæ Naturalis Principia
Mathematica објављеним 5. јула 1687. године. Ферма на маргинама латинског
издања Диофантове Аритметике оставља своје коментаре који иницирају развој
теорије бројева. Лајбниц даје дефиницију функције.
http://razbibriga.net/imported/2011/...25173c38-1.jpg
Копија првог издања Њутнових
Philosоphiae naturalis principia mathematika
Најкрупније математичко име XVIII века је Леонард Ојлер. Он је оставио свој печат
у свим математичким дисциплинама тог века. Уз Лагранжа развија теорију
интегралног и варијационог рачуна. При томе се не користи само Декартовим
координатама. Јављају се зачеци комплексне анализе у радовима Ојлера и
Даламбера. Убрзано се развија и линеарна алгебра увођењем појма матрица и
детерминанти, а најзначајнији допринос томе дају Крамер, Вандермонд и Лаплас. У
теорији бројева Ојлер и Лагранж, инспирисани радовима Ферме, формулишу
значајна тврђења о дељивости и простим бројевима. Заснива се нацртна
геометрија у радовима Монжа и пројективна геометрија у делима Карноа. Де Муавр
и Данијел Бернули у вероватноћи откривају нормалну расподелу.
На крају XVIII века појављују се и први математички журнали и излази двотомна
Историја математике, Монтукла. Шири се издавање научно популарне литературе.
У радовима Песталоција методика математике се издваја као посебна математичка
дисциплина.
Од почетка XIX века па на овамо Колмогоров сматра да траје период савремене
математике. У овом периоду већ се појављују спорови о предмету и дефиницији
математике. Тако Огист Конт мисли да је „математика наука о посредном мерењу
величина“, а Роберт Грасман да је „математика наука о функцијама“. Хамилтон за
основу узима опажање времена, па даје дефиницију: „Математика је наука чистог
времена“. Ако се прихвати мишљење да је чиста математика систем добро
изабраних силогизама, онда нам није далеко ни дефиниција Хермана Грасмана да је
математика: „наука о посебном свету створеном мишљењем“.
http://razbibriga.net/imported/2011/...iones800-1.jpg
Насловна страна првог издања Гаусове
Disquisitiones Arithmeticae
Најутицајнији математичар с прелаза XVIII у XIX век је Гаус. Он 1798. године
завршава рад Disquisitiones Arithmeticae у којем даје значајан допринос теорији
бројева, изучавањем аритметичког и геометријског низа, конгруенција по
модулима, квадратних остатака и доказује квадратни закон реципроцитета. Рад је
штампан у Лајпцигу 1801. године. Гаус даје и први потпуни доказ Основног става
алгебре 1799. У Општим испитивањима о кривим површима, која су објављена 1822.
године, Гаус даје замах диференцијалној геометрији. Ту се први пут појављује
метрика (прва квадратна форма) и повезано са тим унутрашња геометрија површи.
Значајно је и Гаусово деловање на Гетингетском универзитету, који од његовог
постављања за ректора, па дуго година после постаје водећа математичка
институција у свету. Неизбрисив допринос развоју алгебре XIX века дају Абел и
Галоа, својим радовима о решавању алгебарских једначина степена већег од
четири. Из тих радова развила се потпуно нова плодоносна дисциплина алгебре
Теорија група. Фундаменте комплексне анализе у својим радовима постављају
Коши, Риман и Вајерштрас. Лобачевски револуционарним приступом Еуклидовом
петом постулату заснива нову геометрију, која ће касније послужити као
математичка подлога за нову космологију.
Темеље савремене математичке логике постављају Морган и Бул, а крајем XIX
века Пирс у логику уводи кванторе. Теорију скупова разрађује Георг Кантор. Мада
је она изродила и познате парадоксе у њену одбрану су стали Расел, Хилберт и
Адамар. Напротив, иако је у почетку прихватио Канторову теорију скупова,
Поенкаре ју је напустио и назвао „тешком болешћу математике“. Положај је мало
поправила Цермелова аксиома избора која је и раније неприметно и неосновано
коришћена у многим доказима, поготово у теорији реалних бројева.
http://razbibriga.net/clear.gif
Насловна страна Геометрије Лобачевског
Изузетан утицај на развој математике имао је и такозвани Ерлангски програм који
је настао из Клајнове приступне беседе на Ерлангенски универзитет. Његова
синтеза геометрија је произашла из разматрања инваријантности простора у
односу на дату групу трансформација.
У XX веку се све науке па и математика интензивно развијају. Централна
математичка личност са почетка тог века био је Давид Хилберт. Он је 1900. на
међународном конгресу математичара формулисао 23 основна, нерешена,
проблема којима математичари треба да се баве у наредном периоду. Јављају се
нове математичке дисциплине и заокружују оне теорије које су настале у
претходним раздобљима. Вреди поменути неке од математичара који су у тим
пословима били најистакнутији.
Еми Нетер и Ван дер Верден заснивају апстрактну алгебру структура које
прожимају сву математику. Борел и Лебег су уопштил Жорданову теорију мера и
дали основе на којима је изграђен Лебегов интеграл. Колмогоров и Хинчин су дали
значајне резултате у вероватноћи, а први је дао и опште признату аксиоматику
класичне вероватноће. Изузетна је појава индијског самоуког математичара
Рамануџана, који је формулисао више од 3000 теорема, претежно из теорије
бројева. У математичкој логици централно место заузима Гедел, а уз њега су
Вајтхејд и Тарски. Изузетно велики интерес изазвали су фрактали Менделброта.
http://razbibriga.net/imported/2011/...brot_set-1.jpg http://razbibriga.net/imported/2011/...shoulder-1.jpg http://razbibriga.net/imported/2011/...e_valley-1.jpg http://razbibriga.net/imported/2011/...seehorse-1.jpg http://razbibriga.net/imported/2011/...rse_tail-1.jpg
http://razbibriga.net/imported/2011/...ail_part-1.jpg http://razbibriga.net/imported/2011/...ble_hook-1.jpg
Менделбротов скуп
Крајем XX века решена је вишевековна енигма, Велика Фермаова теорема од
стране Едрју Вајлса. Његовом тријумфу значајно су допринели радови Танијаме и
Шимуре, Фалтингса, Каца, Фреја и одлучујућа интервенција Тејлора.
Можемо овој периодизацији додати и пето раздобље које корене има у другој
половини прошлог века, развојем брзих рачунских машина. Капитална тврђења у
области алгоритама постављају Черч, Шенон и Нојман. Норберт Винер заснива
кибернетику. Користећи компјутер 1976. Хакен и Апел доказују теорему о четири
боје.
http://razbibriga.net/imported/2011/...amplesvg-1.png
Посебно је значајан развој апстрактне алгебре, топологије и уопште „апстрактних “
подручја математике. Међутим, све више се смањују разлике између теоријских и
примењених наука, јер и најапстрактније математичке идеје налазе конкретну
примену у решавању практичних проблема. У овом периоду осамосталила се као
посебна математичка дисциплина и историја математике.
Дакле, овде је дат кратак извод из оног чиме су се математичари бавили кроз
векове. Због ограничености простора, ово је само увод, заобиђена су нека
значајна математичка имена. Историју математике су правили људи, математичари,
не изоловани од збивања свог доба. Људи који су имали своје породице, своје
емоције, пријатеље и противнике. Упоредо са њиховим професионалним, текли су
и њихови интимни животи, утичући узајамно један на други. Било је ту истинских
животних драма, срећних појединаца, али и оних који нису доживели славу и
бесмртност свог рада.
izvor: politikin zabavnik
Наука без које се не може
http://razbibriga.net/clear.gif
Математика се служи сложеним језиком којим не могу да овладају
баш сви. Зато га они који је воле сматрају лепим.
Ђаци у школама не воле је баш много. То је права неправда будући да је
математика краљица међу наукама и то из много разлога. Ево само неких.
1) Без ње се не може замислити ниједна друга наука: математика без физике
може, али обрнуто никако.
2) Држи се само тачности: за инжењере је број B (однос између обима и пречника
круга) једнако 3,14. Јер, у математици су све бројке важне, али не саме по себи,
већ због својих својстава - да ли се, на пример, понављају бесконачно или се
уопште не понављају.
3) Математика је и слободарска наука јер не настаје само посматрањем
спољашњег света и из практичних разлога, већ и из уживања у размишљању.
Математика је значајна и у културолошком смислу, јер већ хиљадама година
прикупља знања разних народа: Египћана, Вавилонаца, Грка, Индијаца...
највероватније још од времена пре него што је измишљено писмо. Реч је о једној
потпуно универзалној науци која подједнако важи у сваком кутку планете и
свемира, као и у свакој епохи (Питагорином теоремом служимо се већ више од две
хиљаде година).
Математика је наша прошлост и наша будућност: без ње не би постојале фабрике,
мобилни телефони, рачуни у банци... Све у свему, да није ње - још бисмо живели
у каменом добу.
Од Питагоре до фрактала
Математика је настала из потребе да се броји, мери, праве геометријска тела, тако
да се она врло брзо поделила на геометрију (изучавање простора) и алгебру
(бројчане операције). Египћани су били одлични познаваоци геометрије. По
Херодоту, њихова знања настала су из потребе да премеравају и ограничавају
њиве због сталног плављења Нила. Вавилонци су, пак, били веома вешти с
бројкама, док су Грци од оба ова народа наследили знања која су потом знатно
надоградили: нису се задовољавали приближним прорачунима површине и
запремине, већ су увели изразе „тачно решење” и „доказ”.
Један од првих великих математичара у историји био је Питагора иако теорема која
носи његово име нема много везе с њим. Наиме, била је позната још Вавилонцима,
а можда је није доказао баш он, већ неки његов ученик. Питагора је био посебна
личност: живео је у доба Буде, Конфучија и Заратустре, па је заправо био оснивач
праве „математичке вере” која је цео свемир и поредак у њему објашњавала
бројевима: бројеви изражавају вечну и непроменљиву суштину свих ствари. До тог
закључка дошао је проучавајући астрономију и музику. Одушевљавала га је
чињеница да најједноставнији математички односи као што су 1/2, 3/4 и 2/3 у
музичком понављању највише пријају уху.
Његов ученик Хипас из Метапонта дошао је до открића које је пољуљало његова
уверења. Јер, он је доказао да не може све да се изрази односима целих бројева:
на пример, однос дијагонале и странице квадрата. Како легенда каже, Питагора је
наложио да се овај ученик удави због греха што је открио ову непријатну истину.
Међутим, Хипасово откриће било је од пресудног значаја јер је открило апстрактно
својство математике.
Арапи спасли науку
После слабљења утицаја грчке културе и развој математике у Европи се
зауставио. Наиме, Римљани су више волели да граде. На сву срећу, ствар су
спасли Арапи који су превели Еуклида, Платона, Аристотела и прихватили и
разрадили велику индијску алгебарску баштину, посебно децимални систем (бројке
од 0 до 9 које и данас користимо), појам нуле и негативних бројева (које су
Европљани у потпуности прихватили тек у 17. веку). Потом су математику
поново „донели” у средњовековну Европу.
У 16. столећу ипак су наступиле промене. Под налетом турских освајања, арапска
култура доживела је пропаст, а Европљани су почели да преводе радове Грка, пре
свега Еуклида и Архимеда. Док је Еуклид означавао прошлост, Архимед се показао
као основа за надградњу нове математике и физике, пре свега због његових
изучавања хидраулике и центра гравитације предмета.
http://razbibriga.net/clear.gif
Еуклид (нагнут) на једној Рафаеловој зидној слици. После Библије, његово
дело „Елементи” највише је штампано у историји
Појављују се координате
Наредни велики корак својим делом направио је Француз Рене Декарт који је
ујединио грчку геометрију и арапско-индијску алгебру праволинијским
координатним системом: реч је о систему којим се свакој тачки неке равни
додељују два броја (координате) баш као што се на географским картама ради с
дужином и ширином. Тако је Декарт створио аналитичку геометрију у којој су
геометријске фигуре попут парабола и правих линија тачно одређене математичким
формулама.
Један век касније, ову замисао разрадили су Британац Исак Њутн и Немац Готфрид
Лајбниц и, независно један од другог, измислили инфинитезималан рачун, веома
важан инструмент који је омогућио да се одреде особине кривих линија и површи,
и то тачка по тачка.
Њутн је овај нови огранак математике развио из практичних разлога: служио му је
као средство за описивање закона физике које је управо открио. У историји
математике, међутим, често се догађало супротно: прво су стваране теорије,
наоко потпуно „бескорисне”, које би затим налазиле неочекиване и веома важне
примене. Као, на пример, диференцијална геометрија коју су разрадили Карл Гаус и
Бернард Риман, а која се показала од пресудног значаја за Ајнштајнову теорију
општег релативитета (да би, између осталог, објаснио како звезде деформишу
простор-време). Као и имагинарни бројеви („I”), који су уведени да би разрешили
алгебарски проблем налажења бројева који, „подигнути на квадрат”, то јест
помножени самим собом, дају -1.
Пошто не постоји ниједан „традиционалан” број с оваквим својством, Рафаел
Бомбели из Болоње измислио је 1572. године „i” и то је у почетку било само
формално средство, али се касније ова замисао показала корисном: без
имагинарних бројева било би веома тешко описати електрична и магнетна поља. А
електроника не би ни постојала.
Престројавање у математици
http://razbibriga.net/clear.gif
Ова страница с бројевима Маја данас се чува под именом Кодекс из Дрездена.
Математичка анализа, то јест еволуција Њутновог и Лајбницовог инфинитезималног
рачуна, у 19. веку невероватно се развила. Но, математичари су почели да
схватају да неке до тада изречене тврдње, које су прихваћене здраво за готово
као тачне, уопште нису биле такве. Стога се појавила потреба да се анализи,
логичком доношењу закључака и доказа поставе некакви заједнички темељи. На
чело великих стручњака у овој области избио је Немац Давид Хилберт који је 1899.
године на савршен начин „преуредио” читаву геометрију. На исти начин наставио
је и с другим областима математике, јер је требало поставити аксиоме и логичка
правила закључивања, а самим тим и сваку теорему. Данашњим речником речено,
било је то као проналажење софтвера који би рачунару омогућио да доноси
закључке на све математичке проблеме и дилеме.
Но, посао је био много мукотрпнији него што је изгледало, те је 1931. године
Аустријанац Курт Годел показао да је то и немогуће. Он је дошао до два закључка
од огромне важности: 1) није могуће доказати да математика у својој укупности
никад себи не противуречи и 2) постоје „неодређене” тврдње за које се не може
рећи ни да су тачне ни да су погрешне.
http://razbibriga.net/clear.gif
Перуанске Инке нису знале да пишу, али су за „записивање” бројева користили
quipu као што је овај: чворовима су означавали бројеве и друге забелешке, а
систем им је био децималан као и наш.
Математичка логика запала је тада у дубоку кризу, али се и ослободила старих
терета и почела да развија у различитим правцима. Створена је, на пример, fuzzy l
ogika (нејасна, мутна) која осим тачних и лажних вредности разматра и оне између.
Ова замисао нашла је бројне примене, на пример у електронским колима за
управљање машинама за прање рубља, зато што омогућава да се одреде
различити степени запрљаности, боје, квалитет тканина, као и да се оне комбинују
како би се изабрао најбољи програм за прање рубља.
Исецкане фигуре
У међувремену се математика развијала и у неочекиваним правцима. На прелазу
између 19. и 20. века Француз Анри Поенкаре поставио је основе нове
дисциплине: топологије и теорије хаоса. Развојем ових идеја настале су разне
друге теорије, међу којима и теорија комплексности која омогућава објашњавање
функционисања скупова у којима је „све више од збира делова”, као што су јато
птица, клима или људска свест. Пољак Беноа Манделброт објаснио је 1975. године
једну нову класу геометријских фигура: фрактале. Њихово основно својство
је „самоналиковање”, то јест увек су исти сами себи колико год да се увећавају.
Чему они служе? За објашњавање разгранатих фигура које се често појављују у
природи, као што су гране дрвећа, бронхије у плућима, нервни систем или крвоток.
Сматрају их корисним чак и у економији, па су стога многи математичари
запослени у великим финансијским кућама.
Однедавно развој математике добио је нови подстицај настанком и употребом
рачунара. Помоћу њега (али и 500 густо исписаних страница текста) математичари
са Универзитета Илиноис доказали су 1976. године теорему о четири боје (види
цртеж). Однос с информатиком променио је математику, тако да данас поступак
доказивања не зависи само од људске памети, већ и од технологије. Многи
сматрају да се математика као племенита наука на тај начин „испрљала”. Или су
јој се, пак, отвориле нове могућности за обнављање
http://razbibriga.net/clear.gif
Неизбежни број 5
За све народе света, од Маја до Римљана, од праисторије до данас, број 5, број
прстију на шаци, играо је посебну улогу. У Чехословачкој је чак 1937. године
пронађена једна кост вука која потиче од пре 30.000 година, с 55 уреза груписаних
по пет цртица.
Број пет заправо је главни у свим системима бројања или означавања бројевима.
Од европског, који се ослања на 10 (два пута пет), до мајанског, који се заснива
на 20 (4 пута 5) и вавилонског (12 пута 5). Овај број често је имао посебну ознаку:
код Римљана је то било „V”, код Маја штапић (уместо лоптица за друге бројеве).
А нула? Једини који су користили нулу били су Маје и Индијци (који су је пренели
Арапима). Вавилонци су имали симбол који је означавао одсуство бројки, али га
нису много користили.
Прсти - прва рачунаљка
Децимални систем који ми данас користимо у бројању и рачунању веома је стар,
али није био и једини у историји. Но, у основи свега лежи употреба пет прстију на
руци
Математика је један узаврели лонац у коме су се вековима кувале и сједињавале
сличности и разлике разних култура. Једина нит која их све повезује су бројеви 5,
10 и 20, јер је 5 број прстију на једној руци, 10 број на две руке, а 20 збир прстију
на рукама и ногама. Њима су се људи одвајкада служили.
Систем на основу броја 20 веома је стар и највероватније су га користили далеки
преци Француза, јер они и данас број 80 исказују као „4 пута 20” (quatre vingt).
Овај начин бројања и рачунања био је распрострањен и код народа Маја у Јужној
Америци, јер су и они за 80 говорили „4 пута 20”.
Но, у математици античког доба има доста сличности а и разлика, а свака је имала
и предности и мана. Грци су, на пример, били генијалци за геометрију, али невешти
у рачунским радњама. Можда зато што су за писање бројева користили слова
алфабета која су често стварала забуну. И Римљани су били слични, јер је и код
њих најобичније сабирање било изражавано сложеницама попут LII + CXLI...
Вавилонци су, напротив, као основу користили број 60. Кад би писали ред цифара,
на пример „92640”, то је значило следеће: 9Ш(60Ш60) + 26Ш60 + 40, то јест 34000
у нашем децималном систему, што је слично као да је написано 9 сати, 26 минута
и 40 секунди (укупно, дакле, 34000 секунди). Вероватно да наш данашњи начин
изражавања временских одредница потиче баш од Вавилонаца, јер иначе није
јасно одакле су. Једни мисле да су настали због астрономских прорачуна, други
због потребе лакшег рачунања (60 је дељиво с 20, 10 и 5, али и с 30, 12, 6, 3 и 2).
Египћани су имали себи својствен нумерички систем. Заснивао се на децималној
бази, као и наш, али су користили различите симболе за означавање десетица,
стотина, хиљада... Супротно од нашег система, вредности египатских бројева нису
се читале „по месту у низу”, већ су зависиле од симбола којим су изражене. Но,
Египћани су се посебно истакли употребом разломака. Из нама непознатих разлога
нису користили рачунске радње с целим општим бројевима, већ су искључиво
употребљавали разломке типа 1/n. На пример, уместо 2/5 писали су 1/3 + 1/15
(чији је збир 2/5). Понекад су ове рачунске операције достизале степен праве
виртуозности, на пример кад су разлагали разломак 2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104.
Један од најоригиналнијих система рачунања у Америци развиле су Инке у Перуу.
За бројање али и за друге врсте „забелешки” (Инке нису имале писмо), користили
су конопце пуне чворова - quipu. Овај систем измишљен је у раздобљу између 550.
и 1000. године да би се подаци могли преносити из једног у други део царства.
Звучи чудно, али се quipu заснивао на начину рачунања који је у нечему сличан
нашем и развијенији је него што су га имали Грци и Римљани. Реч је о децималном
систему с логичним распоредом цифара у низу. И код њих је, као и код нас, 2 у
броју 21 вредео више од оног у 12, јер се у првом случају налази више лево и
указује на десетице, а у другом случају на јединице.
Ипак су у Америци пре Колумба најпросвећенији математичари били Маје. Они су
измислили свој концепт „нуле”, а кад смо већ код нуле, она коју ми користимо
измишљена је у Индији у време кад су се у Европи још користили римски бројеви.
Оно што је мање познато јесте да су Индијци измислили и концепт бесконачног, а
све захваљујући џаинистичкој доктрини по којој васиона одувек постоји и у њој
владају невероватно дуги космички циклуси. Један циклус, по њима, траје 2588
година, то јест 1013065324433836171511... и тако још 158 бројки.
Данас се на планети Земљи устаљује нови нумерички систем заснован на само два
броја - 0 и 1 - и због тога је назван бинарни. На њему се заснива рад свих
рачунара света: уместо 5 X 4 они пишу 101 X 100, али је резултат увек исти -
10100 (односно 20). Упркос разним начинима писања бројева и рачунања,
математика је на сву срећу увек иста: и за људе и за рачунаре.
Рачунање нам је урођено
Многи огледи показују да је „осећај за бројке”, то јест способност да одмах
запажамо бројност нечега (у мањим количинама) човеку урођена, док остало
учимо у школи. По неким научницима универзалност математике управо и настаје
захваљујући нашем мозгу који нам заповеда да размишљамо на одређени начин.
Тај осећај, уосталом, имају и животиње, које одмах уочавају да ли пред собом
имају једну, две, три или више јединки своје или друге врсте.
У Амазонији постоји племе Мундурукус чији чланови знају да броје до четири, а за
све што је преко тога кажу „много”. Они сигурно немају мање интелектуалне
способности од других људи, али су се једноставно прилагодили околини у којој
живе где рачунање није од велике помоћи у свакодневном животу. Математика би
за њих, како сматрају неки стручњаци, значила да треба да жртвују неке друге
способности (на пример, смисао за оријентацију у простору) која им је много
важнија за преживљавање у џунгли.
Чини се да и деца од само неколико месеци већ имају осећај за бројке. Ако гледају
у неку кутију у коју је прво стављено пет предмета а потом још пет, очекују да их
има десет. Ако неко потом склони пет предмета, гледају зачуђено, јер примећују
да у кутији нешто недостаје.
За праисторијског човека први облик разумевања количине нечега било је
бројање, а то није исто што и осећај за бројке. Наши далеки преци почели су да
броје пре 30.000 година, о чему сведоче кости с урезима нађене у Чехословачкој и
Конгу. Који је био следећи корак не зна се, али ипак све указује на то да је
математика рођена пре писања. Потом је ова наука постајала све апстрактнија
тако да данас способност рачунања више не чини доброг математичара.
Вавилонци мерили на туце
У последње време реч „туце” је све што је остало од једног веома древног система
бројања коме се полако губи траг. Број 12 (туце нечега, 12 комада) био је веома
важан за Вавилонце: у њиховом дану било је дванаест сати, толико је месеци било
у години и исто толико зодијачких знакова. За савремене Британце, пак, 12 пенија
чинило је један шилинг, једна стопа износи 12 палчева, а у многим земљама
куповала су се јаја, дугмићи или нешто слично на туце.
Зашто је број 12 толико важан? Можда зато што су неки наши преци (а неки
народи то још чине) користили палац за бројање и рачунање помоћу 12 чланака на
прстима исте руке.